Log returns

금융 분야에서 로그 수익률을 사용하는 이유는 보통 3가지 입니다. 이번 포스팅에서는 그 세가지 이유를 정리해보겠습니다. 우선 로그 수익률과 일반적인 수익률은 다음과 같이 정의 됩니다.

$$단순 수익률 : r_t = \frac{P_t-P_{t-1}}{P_{t-1}}$$ $$로그수익률 : z_t = \ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right)$$

1. Normal returns

어떤 자산의 가격이 100원에서 130원이 되었다가 다시 100원으로 왔다고 가정해봅시다. 100원에서 130원이 될 때는 단순 수익률이 +30%이지만, 130원에서 100원이 될 때는 단순 수익률이 -30%가 아닌 -23%가 되는 문제가 발생합니다. 이는 연속시간에 대한 복리효과 때문입니다. 로그 수익률은 이를 보정하여 주가 변동 수익률의 합계가 최종 수익률과 같아지게 합니다.

$$\ln\left(\frac{P_{t-3}}{P_{t-2}}\right) + ln\left(\frac{P_{t-2}}{P_{t-1}}\right) + ln\left(\frac{P_{t-1}}{P_{t-0}}\right) = ln\left(\frac{P_{t-3}}{P_{t-0}}\right)$$

2. Infinite support and Normality

import yfinance as yf
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
df = yf.download('VTI', start="2013-01-01")
df['Return'] = df['Adj Close'].pct_change()
df['Log_Return'] = np.log(df['Adj Close'] / df['Adj Close'].shift(1))

from scipy.stats import lognorm
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.hist(df['Adj Close'].dropna(), bins=200, alpha=0.6, color='b', density=True)

# 로그정규 분포의 파라미터 추정
shape, loc, scale = stats.lognorm.fit(df['Adj Close'])

# 추정된 파라미터를 사용하여 분포 객체 생성
dist = stats.lognorm(shape, loc=loc, scale=scale)

# 확률 밀도 함수를 그리기 위한 x 값 생성
xmin, xmax = plt.xlim()
x = np.linspace(xmin, xmax, 100)

# PDF 계산 및 그래프에 표시
pdf = dist.pdf(x)
plt.plot(x, pdf, 'r-', linewidth=2, label='Log-normal distribution')

plt.title('Probability Distribution of Returns for VTI Price')
plt.xlabel('Daily Price')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

로그 수익률에 대한 일반적인 주장은, 가격이 로그 정규 분포인 경우 로그 수익률이 정규분포를 따른다는 것입니다. $zt=log(p_t)−log(p{t−1})$ 이므로, 로그 수익률은 두 정규 확률 변수의 합이기 때문입니다.(제 개인적인 생각은, $Pt$와 $P{t-1}$이 독립이 아니기 떄문에 말이 안되는 것 같습니다.)
그렇다면, 가격이 로그 정규분포를 따른다고 가정하는 것이 타당할까요? Vanguard Total Stock Market Index Fund ETF(VTI) 가격의 히스토 그램을 최적의 로그 정규분포와 함께 표시했습니다. 로그 정규 분포가 첫 번째 근사로 무리는 아니지만 데이터에 대한 좋은 모델은 아닌듯 합니다.

import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

plt.figure(figsize=(10, 6))
sns.kdeplot(df['Return'].dropna(), bw_adjust=0.5, color='b')
plt.title('Probability Distribution of Simple Returns for VTI')
plt.xlabel('Daily Return')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.grid(True)
plt.show()

import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns  # Seaborn 라이브러리를 사용하여 KDE plot을 그립니다.

plt.figure(figsize=(10, 6))
sns.kdeplot(df['Log_Return'].dropna(), bw_adjust=0.5, color='g')
plt.title('Probability Distribution of Log Returns for VTI')
plt.xlabel('Daily Return')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.grid(True)
plt.show()

plt.figure(figsize=(10, 8))
(result, _) = stats.probplot(df['Log_Return'].dropna(), dist="norm")
plt.plot(result[0], result[1], 's', color='green',alpha=0.9, label='Log_Return')

stats.probplot(df['Return'].dropna(), dist="norm", plot=plt)
plt.title('Q-Q Plot of Log Returns for AAPL')
plt.ylabel('Ordered Values')
plt.xlabel('Theoretical Quantiles')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

수익률의 하한은 -1.0입니다. 하지만, 로그 수익률은 무한한 범위를 가집니다. 그리고 로그함수는 큰 양의 값을 누르고 작은 음의 값을 키우므로, 단순 수익률보다 로그 수익률이 더 대칭적입니다. 실제로, 위 그림과 같이 작동하는 모습을 볼 수 있습니다. 단순 수익률과 로그 수익률 모두 정규분포보다 꼬리가 더 두껍습니다. 이론적으로 아래 그림과 같이 단순 수익률은 음의 왜도와 3이상의 첨도를 가져, 로그변환을 해주면 정규분포 모양으로 가까워 질 것을 기대할 수 있습니다. 하지만, 실제로는 위 그림와 같이 더 대칭적이지 않게 되는 모습도 보입니다.

Return distribution of S&P 500 Index(MITOPENCOURSE, Investments, 2003)

3. The Relationship Between Log Returns and Simple Returns

연속 복리 수익의 계산은 다음과 같습니다. 로그 수익률은 한기간 동안의 연속 복리 수익률($e^r$)이 단순 수익률일 때, r을 구하는 것입니다.

$$\lim_{n \to \infty} (1+\frac{r_t}{n})^{\frac{n}{r_t} \cdot r_t} = e^{r_t}$$ $$P_{t-1} \cdot e^{r_t} = P_t$$ $$\ln(P_{t-1}) + r_t = \ln(P_t)$$ $$r_t = \ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right)$$

4. Approximations

로그 수익률을 쓰는 마지막 이유는 수학적 특성 외에도 원시 수익률과 유사한 경우가 많기 때문입니다. $x$가 0근처일때, 다음을 만족합니다. $log(1+x)≈x$ 그리고 수익률은 보통 0근처입니다. 실제로 $y = ln(x+1)$의 first-order taylor sereis는 $y = x$입니다(증명 생략).

Reference

[1] https://gregorygundersen.com/blog/2022/02/06/log-returns/

[2] MTI OPENCOUSE - Invseting(2008)